RECTA

Publicado: 11 agosto, 2010 en Sin categoría

RECTA

En geometría euclidiana, la recta o línea recta, el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x y y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la “pendiente de la recta” y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado “término independiente” u “ordenada al origen” y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta

en su tratado denominado Los Elementos,[1] establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:

  • Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
  • Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
  • Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).

También estableció dos postulados relacionados con la línea recta:

  • un perro tiene 4 patas.
  • Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado).

Características de la recta

Algunas de las características de la recta son las siguientes:

  • La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
  • La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
  • La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Geometría analítica de la recta en el plano

La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Ecuación de la recta

En una recta, la pendiente m\, es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

y - y_1 = m (x - x_1)\!

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,y1) y tiene la pendiente dada m es:

y - y_1 = m (x - x_1)\,
Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3.

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y - y_1 = m (x - x_1)\!y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)\!

3 (y + 4) = - 1(x - 2)\!

3y + 12 = - x + 2\!

x + 3y + 12 = 2\!

x + 3y + 10 = 0\!

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, yy1 = m(xx1):

y - b = m (x - 0)\!y - b = m x \!

y = m x + b \!

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

 (0, b)\! y (a, 0)\!

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

m = \left( \frac{0 - b}{a - 0} \right) =  \frac{-b}{a}

Después se sustituye en la ecuación yy1 = m(xx1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

y - 0 = - \frac {b}{a}(x - a)
 ay = - bx + ab\!

 bx + ay = ab\!

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:

\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} =  \frac{ab}{ab}\!

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)

Ludwig Otto Hesse ((1811-1874) Matemático alemán. Prof. en la Univ. de Heidelberg y en el Politécnico de Munich.)

Esta es la forma normal de la recta:

x cos\omega + y sen\omega - d = 0 \!

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. y el ángulo omega ω es el formado entre la recta y el eje de las ordenadas.

Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

Ax + By + C = 0 \!

Sacando raiz cuadrada a la suma de los cuadrados de A y B . Como sigue:

k = \sqrt{A^2 + B^2}

Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular p dividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kp, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.[2]

Ecuación Normal de la recta (Segunda forma)

 \frac{Ax+By+C}\sqrt{A^2 + B^2}  = 0

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

La recta en coordenadas cartesianas

La recta en coordenadas cartesianas.png

La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:

y = m \cdot x + n

La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:

y_{A} = m \cdot x_{A} + n
y_{B} = m \cdot x_{B} + n

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}
n = \frac{y_{A} \cdot x_{B} - y_{B} \cdot  x_{A}}{x_{B} - x_{A}}
  • m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje x.
  • m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de abscisas de un par de puntos cualesquiera de la recta.
  • n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).

Rectas notables

  • La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general x = xv (constante).
  • La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general y = yh (constante).
  • Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: y = (m)(x)\;.
  • Dos rectas cualesquiera:
 y = \left( m_1 \right)\left( x \right)+ n_1  \!
 y = \left( m_2 \right)\left( x \right)+ n_2  \!

serán paralelas si y solo si m_1 = m_2\;. Además, serán coincidentes cuando: n_1 = n_2\;
serán perpendiculares si y sólo si m_1 = -1/ m_2\;, es decir: (m_1)(m_2) = -1 \;

Rectas que pasan por un punto

FuncionLineal05.svg

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0).

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

y = m x + b \,

Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:

y_0 = m x_0 + b \,

Despejando b, tenemos esta ecuación:

 b= y_0 - m x_0 \,

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

y = m x + (y_0 - m x_0) \,

Ordenando términos:

y = m (x- x_0) + y_0 \,

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0,y0), el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

Y ha de pasar por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) luego tendrá que cumplirse

 y_{1} = m x_{1} + b \,
 y_{2} = m x_{2} + b \,

que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:

y_1 - y_2 = m x_1 - m x_2 \,

agrupando términos:

y_1 - y_2 = m (x_1 - x_2) \,

despejando m:

m= \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \,

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: (x1,y1) y (x2,y2).

Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

b = y_1 - m x_1 \,

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

b = y_1 - \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x_1  \,

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

y = \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x + y_1 -  \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x_1 \,

Rectas perpendiculares

FuncionLineal09.svg

Dada una recta:

y = m_1 x + b_1 \,

Se trata de determinar que rectas:

y = m x + b \,

son perpendiculares a la primera.

Sabiendo que:

 m_1 = \tan( \alpha ) \,

Siendo α el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con la horizontal, por trigonometría sabemos que:

 \tan ( \alpha + 90) = \frac{-1}{\tan(\alpha)}

y si la pendiente de la primera recta es:

 m_1 = \tan ( \alpha ) \,

la de la segunda debe de ser:

 m = \tan ( \alpha+ 90 ) = \frac{-1}{ m_1 }  \,

Esto es, dada una recta cualquiera:

y = m_1 x + b_1 \,

cualquier recta de la forma:

y = \frac{-1}{ m_1 } x + b \,

Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.

Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.

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